Affine Geometries of Paths Possessing an Invariant Integral by Eisenhart L. P.

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By Eisenhart L. P.

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Topologie und Analysis: Eine Einfuhrung in die Atiyah-Singer-Indexformel

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Dieser entspricht ¨ genau der Aquivalenzklasse, die die Position des Punktes P festlegt. 11. Seien A, B, C, D vier Punkte auf einer Geraden und (A, B; C, D) = λ. Dann gilt (B, A; C, D) = 1/λ; (C, D; A, B) = λ; (A, C; B, D) = 1 − λ. 48 4 Projektive Geometrie auf Geraden Beweis. Die ersten beiden Gleichungen ergeben sich direkt aus der Definition des Doppelverh¨altnisses. Wir erhalten (B, A; C, D) = [B, C] · [A, D] = 1/(A, B; C, D) [B, D] · [A, C] und (C, D; A, B) = [C, A] · [D, B] (−[A, C]) · (−[B, D]) = = (A, B; C, D).

Dann gilt (B, A; C, D) = 1/λ; (C, D; A, B) = λ; (A, C; B, D) = 1 − λ. 48 4 Projektive Geometrie auf Geraden Beweis. Die ersten beiden Gleichungen ergeben sich direkt aus der Definition des Doppelverh¨altnisses. Wir erhalten (B, A; C, D) = [B, C] · [A, D] = 1/(A, B; C, D) [B, D] · [A, C] und (C, D; A, B) = [C, A] · [D, B] (−[A, C]) · (−[B, D]) = = (A, B; C, D). [C, B] · [D, A] (−[B, C]) · (−[A, D]) Die dritte Gleichung erfordert geringf¨ ugig mehr Aufwand. Sie folgt aus der Identit¨at [A, B][D, C] + [A, C][B, D] = [A, D][B, C].

Da die Punkte A′ , B ′ , C ′ , D′ kollinear sind, ist dies gleich dem Doppelverh¨altnis der Punkte, was wiederum der Definition des Doppelverh¨altnis der Geraden a, b, c, d entspricht. 4 Harmonische Punkte 47 Zum Abschluss dieses Abschnitts gehen wir noch auf die geometrische Bedeutung der zuletzt betrachteten Doppelverh¨ altnisse ein. Wir haben gezeigt, dass [O, A, C] · [O, B, D] (A, B; C, D) = [O, A, D] · [O, B, C] gilt. Bei diesem Doppelverh¨ altnis sticht der Punkt O heraus, da er in jeder Determinante vorkommt.

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